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小时候我们都会做“小学奥数”，其中一个经典的问题是：一个秤有8个砝码，分别为1、2、3、4、5、6、7、8两重，你能用这些砝码称出多少个不同的重量？
对于贪心（每次都选择最大的砝码）和枚举（暴力枚举所有可能的组合）两种方法，往往需要很长时间才能给出答案。但事实上，类似的问题都可以用称之为“动态规划”的方法来解决。
动态规划（Dynamic Programming）是解决最优化问题的一种常用策略，常见于组合优化问题和最长路计算。在解决问题中使用动态规划方法通常需要满足以下几个条件：
1. 刻画最优解的结构特征。
换句话说，一个大问题可以通过逐渐分解成许多小问题的解来构造。直到被解决的小问题的集合构成了整个大问题的解。
2. 定义状态。
接下来，定义解决小问题的状态是必要的。
具体来说，需要找到与后续问题相关的一组状态变量，从而将它们的值表示出来。根据不同的问题和问题的解法，可选择合适的状态来表示。
3. 定义最优解的递归函数。
动态规划的核心是寻找最优解，通过递归函数每次寻找问题的最优解，最终得出最终问题的最优解。
4. 以递归形式或递推形式求解最优解的值。
通常，可以采用递推的方法，从最开始逐次求出所有的状态和最优决策。最后，可以把所有的决策整合起来，构造出整个大问题的最优解。
动态规划的难点在于寻找状态转移方程，而状态转移方程的寻找需要对各种题目类型积累大量的经验。
例如，在上很经典的背包问题，需要解决如何在有限的容量中，选择物品使得总价值最大的问题。其中一个基础的背包问题是01背包问题，假设有n个物品和一个容量为V的背包。第i个物品的体积为w[i]，价值为v[i]，现在求这个背包能够装下的最大价值。
求解这个问题思路中，首先定义dp[i][j]表示在背包容量为j的情况下，只从前i个物品挑选，能够得到的最大价值，那么对于总共n个物品，包容量为V，dp[n][V]就表示最终的结果。接下来就是状态转移方程的计算。对于第i个物品来说，可以选择放或不放，如果选择放，背包容量就会减少，价值就会增加；如果不放，背包容量不变。根据背包问题的特性，状态转移方程就呼之欲出。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])
表明dp[i][j]由两部分组成：第一部分dp[i - 1][j]，表示不选当前物品的情况下，前i-1个物品可以在包容量为j的背包中找到的最大价值；第二部分dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]，表示选了当前物品的情况下，前i-1个物品可以在包容量为j-w[i]的背包中找到的最大价值，加上当前物品的价值v[i]。
以上就是动态规划的一个简单介绍。动态规划广泛应用于组合优化问题，另外也在各种领域有大量的应用，如自然语言处理、图像处理和金融工程等。学好动态规划算法不仅是理解各类算法和数据结构的基础，对计算机科学行业发展也有巨大的推动作用。
